چگونگي حل مساله در ریاضی

آموزش

تفکر و حل مساله

در ریاضی

راهبردها،مساله ها،فعالیت ها

«به نظر می رسد،مردم متوجه نمی شوند که برای فکر

کردن باید وقت گذاشت،تلاش کرد و آمادگی پیدا کرد.»

برتراندراسل

فهرست مطالب

مقدمه

بخش اول:

Ø آمادگی برای حل مساله

بخش دوم:

Ø بررسی مساله

بخش سوم:

Ø کاربرد راهبردهای حل مساله

مقدمه

شاید بیشتر معلمان ریاضی،مفهومی که از حل مساله دارند،فقط محدود به حل ساده یک مساله می شود.اما حل مساله به مجموعه ای از فعالیتها گفته می شود که دانش آموز درهنگام رویارویی بامساله از آن استفاده می کند.

جورج پولیا حل مساله را چهار فرایند رشد و فهم مساله، طرح حل مساله(انتخاب راهبرد)، حل کردن طرح، بررسی دوباره مساله برای ارزشیابی واصلاح درنظرمی گیرد.

دانش آموزان باید راهبردها وچهارفرایند حل مساله را یاد بگیرندو با موقعیتهای حقیقی وفرضی مساله آشنا شوند.موقعیتهای مساله برای کودکان پایه های ابتدایی ساده و درخور رشد ذهنی آنان است وبرای کودکان دوره های بالاترپیچیده تر می شود.

حل مساله فقط پایان کار نیست،بلکه تازه شروع کار است.

بخش اول
آمادگی برای حل مساله

v تغییر نگرشهای کهنه ریاضی

ü بارها شده وقتی مساله ای را به دانش آموزان ارائه می دهیم در فهم مساله دچار مشکل می شوند و فقط توانایی حل مسائلی را دارند که در واقع یک مساله حساب هستند و با یک جمع و تفریق یا ضرب و تقسیم ساده به جواب می رسند.

ü قبل از شروع حل مساله باید به اهداف زیر دست پیدا کنیم:

1) پیش ازهرچیز،رشد آگاهی ، ارتباط ودرک ریاضی دانش آموزان را ارتقاء دهیم.

2) انواع تفکر را به آنان معرفی کنیم تا بفهمند که بررسی اطلاعات وفرایندهای تفکر وقت گیر است.

3) به دانش آموزان این واقعیت را تفهیم کنیم که حل مساله به خصوص در مورد موضوعات واقعی زندگی،ممکن است بیش از یک پاسخ صحیح داشته باشد.

v حساب:فقط قسمتی از ریاضیات

ü متاسفانه اکثر دانش آموزان دید محدودی از ریاضیات دارند.البته وقتی تاکید اصلی برنامه های درسی بیشتر بر «محاسبه کردن»است،عجیب به نظر نمی رسد که ریاضیات را فقط حساب در نظر بگیرند.

ü ما همه با اجبارها و فشارهایی که معلمان با آنها مواجه هستند آشنایی داریم ودریافته ایم که اگر بخواهیم به مدرسه ها چیزی را اثبات کنیم،کار بسیار مشکلی است.دانش آموزان باید در زمان معینی مهارتهای محاسبه ای زیادی را یاد بگیرند ومحاسبه های زیادی را انجام دهند.تاحالا چه کاری انجام شده؟ دانش آموزان باید بدانند که مهارتهای محاسبه ای حساب ابزار مورد استفاده حل مساله هستند،اما حساب فقط قسمتی از ریاضیات است ومفهوم اعداد،اندازه گیری،هندسه،الگوها وروابط انها،آمار و.... همه بخشی از مهارتهای یادگیری حساب به شمار می آیند.

v لذت بخش کردن ریاضیات:

ü لحظه ای به«معما گونه بودن ریاضیات»فکر کنید.گاهی توجه صرف به کلمه ریاضی موجب می شود که دانش آموزان پاسخ دهند:من نمی توانم آنرا انجام دهم.

ü برای مفرح ومعما گونه کردن ریاضیات راههای گوناگونی وجود دارد در بیشتر موقعیتها استفاده از مزاح و لطیفه یک ضداضطراب به حساب می آید استعدادهای پویای ریاضی در شروع هر درس با این روش رشد قابل توجهی خواهد داشت.

ü وقتی دانش آموزان به حل معماها عادت کردند تمایل پیدا میکنند تا خود به تنهایی این کار را انجام دهند در طول کلاس، این روحیه نشاط بخش ، موجب چالش و خلق سرگرمی ریاضی در دانش آموزان خلاق می شود.

v تفکر نیاز به زمان دارد!

ü بیشتر دانش آموزان تصور می کنند که به سوال معلم باید به سرعت پاسخ دهند درصورتی که تفکرهم به زمان نیاز دارد. سوالات «باز- بسته»میتواند به دانش آموزان کمک کند که به سوالات، سریع پاسخ ندهند.

ü برای بعضی از دانش آموزان«دوره انتظار»، یک عمر به نظر می رسد وآنها روی افکار اولیه خود متمرکز می شوند تا وقت فکرکردن تمام شود، درصورتی که دانش آموزان قبل از تصمیم گیری نهایی باید به طور فعال وخلاق فکر کنند.

ü بعضی از دانش آموزان احتمالا به پاسخ های اشتباهی برسند اما یادگیری از طریق اشتباه کردن، موجب افزایش نیروی اراده وکوشش دانش آموز می شود .اما ذکر این نکته هم اهمیت دارد که اشتباه کردن با تکرار مکرر یک اشتباه فرق می کند.

v سه نوع تفکر در آموزش ریاضی

1) تفکر تحلیلی یا پژوهشی:برای امتحان کردن ویا بررسی روش حل مساله استفاده می شود. ما از اطلاعات برای پی بردن به نتیجه منطقی آن کمک می گیریم واین نوع تفکر، دربرگیرنده تفکر ریاضی است.«قیاس ها»، یعنی همان فعالیت های استنباطی، به دانش آموزان در تجزیه وتحلیل مسائل کمک می کند.

2) تفکر آفرینشی:شامل راهها وروش های احتمالی است که از طرف ما پیشنهاد می شود.سوالات «باز- بسته»با پاسخهای متنوع به پرورش فکرهای خلاق کمک می کند ودانش آموزان یاد می گیرند که به دنیای اطرافشان با نگاه جدیدی بنگرند.دو روشی که افق خلاقیت دانش آموزان را گسترش می دهد بارش مغزی وباز آفرینی است.

3) تفکر انتقادی:یک عقیده آموزش دیده در مورد یک واقعیت است.این تفکر پاسخ وواکنش منفی نسبت به یک موقعیت نیست، بلکه نوعی ارزیابی از پاسخی است که دانش آموزان بر اساس حقایق و منطق خود در مورد یک موقعیت بیان می کنند.

رویکرد هایی به حل مساله با استفاده از سه نوع تفکر

مساله : بهترین روش مرتب کردن میزهای بچه ها کدام است؟

تفکر تحلیلی الگوی میزها در کلاس درس چگونه باید باشد؟

تفکر آفرینشی چه الگوهای دیگری برای میزها می توان در کلاس به کار برد؟

تفکر انتقادی چرا فکر می کنید که این الگو بهتر است؟

v چند پاسخ برای یک سوال

ü بارها اتفاق افتاده زمانی که شروع به آموزش حل مساله می کنیم، متوجه می شویم که بسیاری از دانش آموزان از اینکه ممکن است یک سوال چند پاسخ صحیح داشته باشد، ناراحت هستند.

ü تمرینهای حساب و مساله هایی که وابسته به مهارتهای محاسباتی هستند، فقط یک پاسخ دارند ولی مساله های «باز-بسته» مانند مرتب کردن میزهای کلاس، راهها وروشهای گوناگون دارد.هر سه نوع تفکر، یعنی تفکر تحلیلی، تفکرآفرینشی وتفکر انتقادی،همگی در مساله های «باز-بسته» به کار می آیند.

ü به این نمونه توجه کنید: «اگر هریک از شما 1000تومان داشته باشید با آن چه می کنید؟» احتمالا در جواب این سوال، پاسخ های زیادی از دانش آموزان می شنوید که بیشتر به تفکر تحلیلی و آفرینشی ختم می شود.

ü مساله های واقعی زندگی بیش از یک پاسخ دارند.البته پاسخ هایی که با تفکر انتقادی همراه هستند،بهتر از بقیه پاسخها ارزیابی می شوند،درست مانند مساله ها که می توانند بیش از یک پاسخ داشته باشند،ذهن دانش آموزان به اینجا کشیده می شود که پاسخها هم می توانند بیش از یک مساله را دربر بگیرند.

ü برای اینکه دانش آموزان را وادار به تفکر کنید، به کلاس بگویید:«پاسخ20می شود!».

مساله های زیادی رامی توان پیداکرد که جواب آنها 20 می شود.دانش آموزان ممکن است پاسخهای گوناگونی بدهند.یک روش خوب برای استفاده از این فعالیت تصویر زیر است:

20

18+2

20-40

5´4

400Ö

v درست کردن یک محیط مناسب کلاسی برای حل مساله

ü ما همواره باید با ورودمان به کلاس ،جنبه های جالب ریاضی را به دانش آموزان انتقال دهیم.یک محیط مناسب کلاسی،به جنبه های مهم ریاضی در زندگی روزمره بچه ها اشاره می کند.

ü روش دیگر بر انگیختن کنجکاوی و تفکر، طرح مساله روز یا مساله هفته است.این روش درکلاس درس بسیار مفید است، زیرا دانش آموزان عاشق بررسی راز نهفته مساله ریاضی روز هستند.معماهای روزانه یا هفتگی می توانند توسط خود معلم یا ناشران دیگر تهیه شوند.

ü وسایل کمک آموزشی تصویری که باعث بر انگیختن تفکر دانش آموزان می شود، باید به دیوار کلاس نصب شوند.دانش آموزان بانصب تابلوهای هنری- ریاضی جذب موضوعات آموزشی می شوند.در ادامه بعضی از پیامهای پیشنهاد شده آمده است:

پوسترهای تشویق کننده تفکر ریاضی پوستر مراحل حل مساله

v گروههای یادگیری مشارکتی

ü وقتی دانش آموزان در گروههای یادگیری فعالیت می کنند، نسبت به وقتی که ساکت نشسته اند وبه معلم توجه دارند، گیرایی بیشتری دارند.اعضای گروه با وجود دستورالعملهای روشن وانتظارات مشخص است که فعالانه در فرآیندهای تفکر شرکت ومراحل حل مساله را با یکدیگر طی کنند. همچنین نسبت به افکار وعقاید یکدیگر واکنش نشان می دهند.

ü بهتر است در جریان حل مساله، دانش آموزان را در گروههای ناهمگن سه یا چهار نفره قرار دهیم وبرای هر گروه یک ماشین حساب، کاغذ ویک جدول پیشرفت تهیه کنیم.مانند جدولی که در اسلاید است، پیشرفت هر گروه را در مراحل فرایند حل مساله نشان می دهد.

ü مهمترین هدف این امر این است که دانش آموزان به این نتیجه برسند که در زندگی واقعی عجیب به نظر می رسد که یک نفر بتواند به تنهایی واقعیت را تجزیه وتحلیل کند وپاسخهای آنرا بیابد.مهمترین بخش در کار گروهی وجود یک هدف واحد است.

ü وقتی کار گروهی شروع می شود،اگر مشاهده شد که افراد در گروهها با هم سازش ندارند می توانیم این سوال را از آنها بپرسیم:چگونه می توان از مردم جهان انتظار داشت که با یکدیگر همدردی کنند در صورتی که ما در یک اتاق کوچک نمی توانیم به شیوه صحیح با یکدیگر گفتگو کنیم.

بخش دوم
بررسی مساله

v مساله چیست ؟

ü برای بیشتر ما کلمه مساله دلالت ضمنی منفی دارد یعنی چیزی را می رساند که غلط است ونیاز به اثبات دارد .

ü در ریاضیات یک مساله می تواند یک الگوریتم ساده باشد که فقط نیاز به محاسبه دارد یا یک مساله با پیچیدگیهای زیاد باشد که برای حل به یک یا چند مرحله محاسبه نیاز دارد.

برای دانش آموزان مفید وضروری است که درباره مساله دیدگاهی وسیع داشته باشند وبدانند که :آیا مساله مورد نظر آنان یک معمای ریاضی با یک پاسخ است و یا یک موضوع اجتماعی که نیاز به تجزیه وتحلیل عمیق دارد

v مدل حل مساله

ü آیا کسی را می شناسید که دربرابر یک مساله جدی دقیقا بداند که چه کاری باید انجام دهد ؟

ü او باید بداند که دربرابر یک مساله نخست باید آنرا بررسی کند وبه فکر ساده ترین راه باشد . راهکارهای او حاکی از آموزش خوب و تجربه زیاد در حل مساله است.

ü برای این کار باید برای دانش آموزان ترتیبی درنظر بگیریم که بتوانند مسائل را به خوبی تجزیه وتحلیل کنند . به همین علت دانش آموزان را باید طوری تربیت کنیم که نسبت به رویکرد مساله ها قدم به قدم فکر کنند.

ü در ادامه مدل حل مساله ای که ما در آموزش استفاده می کنیم پیشنهاد شده است:

تعیین مساله

1) فهمیدن مساله تشخیص حقایق مربوطه وروابط آنها با یکدیگر

مشخص کردن مهمترین شرایط

2) انتخاب راهبرد

3) حل مساله

4) بررسی نتایج (بازگشت به عقب)

v مرحله اول: فهمیدن مساله

1) تعیین مساله

ü تعیین مساله ممکن است یک مرحله ساده به نظر برسد اما نباید مطمئن باشیم که دانش آموزان آنرا درک می کنند .این مهارت احتیاج به تمرکز روی سوال در توانایی خلق یک تصور ذهنی از موقعیت دارد.

ü برای کمک به تعیین مساله باید :

1) مساله را یک یا چند بار بخوانید.

2) تصویر ذهنی از مساله خلق کنید.

3) برای فهماندن سوال آنرا به زبان خود طرح کنید.

v مرحله دوم: انتخاب راهبرد

ü در بخش سوم درباره انواع راهبردهای حل مساله سخن می گوییم رابردهایی مثل رسم شکل ، جدول نظام دار، الگویابی، زیر مساله و...

ü می توانیم برای بهبود نتیجه هر راهبرد را جداگانه در یک گروه بزرگ معرفی کنیم و تمرینهایی برای حل در نظر بگیریم .بنابراین وقتی راهبردها آموزش داده شد بچه ها باید درباره مساله هایی که در گروه های یادگیری مشارکتی انجام می دهند تصمیم گیری کنند .

v مرحله سوم: حل مساله

ü واضح است که دانش آموزان در حل مساله از یک طرح کمک می گیرند دانش آموزان با تعیین مساله *تشخیص حقایق مربوطه و تشخیص شرایط وانتخاب راهبرد باید قادر باشند که مساله را ریاضی وار حل کنند.

v مرحله چهارم: بازگشت با عقب

ü بعد از حل مساله می توان این سوال را از دانش آموزان پرسید که :آیا پاسخ مساله قابل درک است ؟ یا آیا پاسخ شما منطقی است ؟ بنابراین یک بخش انتقادی در آموزش ریاضی در کلاس ایجاد می شود و دانش آموزان می دانند که پس از پاسخ این سوال همیشه از آنان پرسیده خواهد شد.

ü در ادامه یک نمونه نمودار حل مساله که مربوط به یکی از گروههای یادگیری مشارکتی است ارائه می شود:

نمودار حل مساله

بخش سوم

کاربرد راهبردهای حل مساله

v راهبردهای حل مساله چیست؟

ü راهبردهایی که در کتاب های درسی به آنها اشاره شده عبارتند از :

Ø رسم شکل

Ø جدول نظام دار

Ø الگویابی

Ø حذف حالت های نامطلوب

Ø زیر مساله

Ø حل مساله ساده تر

Ø تشکیل معادله

Ø حدس و آزمایش

v راهبردها را چگونه باید آموزش داد؟

ü باید در حل مساله هر راهبردی را جداگانه با فعالیت های آماده سازی معرفی کنیم.سپس کاربردهای ریاضی را با ارائه تمرین ودرک گسترده هر روش به کار بگیریم.سرانجام دانش آموزان برای بدست آوردن پاسخ معقول باید راهبرد یا ترکیبی از راهبردها را انتخاب کنند.

ü در این بخش سعی براین است که چند راهبرد جداگانه با حل یک نمونه مساله به شما معرفی شود.

1) رسم شکل

مساله : دانش آموزان کلاسی بسکتبال بازی می کنند. بقیه دانش آموزان فوتبال بازی می کنند.سایر بچه ها که تعدادشان 10نفر است بازی آنها را تماشا می کنند.این کلاس چند دانش آموز دارد؟

ü فهمیدن مساله:

1)تعیین مساله:تعداد دانش آموزان کلاس چند نفر است؟

2) حقایق مساله: کلاس بسکتبال و نصف بقیه فوتبال

3 )شرایط: بقیه که تماشا می کنند 10نفر هستند.

ü انتخاب راهبرد: رسم شکل

ü حل مساله: گام دوم گام اول

بسکتبال

5	5	5
5	5	5

گام چهارم گام سوم

نفر 30= 5´6: کل کلاس گام آخر

نصف بقیه فوتبال

ü بازگشت به عقب: پاسخ 30صحیح است چون یک سوم کلاس 10نفر می شودو یک دوم باقیمانده 10نفر که با آن 10نفر تماشاچی 30نفر می شوند.

2) جدول نظام دار

مساله:چند مستطيل می توان ساخت که مساحت آن100 باشد؟ كدام يك از اين مستطيل ها كمترين محيط را دارامي باشد؟(طول و عرض مستطيل اعدادي طبيعي اند و مربع نيز نوعي مستطيل است).

ü فهمیدن مساله:

1)تعیین مساله:کدام مستطیلها مساحتشان 100می شود؟کدام مستطیل کمترین محیط را دارد؟

2) حقایق مساله:مساحت مستطیل 100باشد.

3) شرایط: طول و عرض مستطيل عددی طبیعی و مربع نيز نوعي مستطيل است.

ü انتخاب راهبرد: جدول نظام دار

محيط	مساحت	عرض	طول
202=2×(1+100)	100	1	100
104=2×(2+50)	100	2	50
58=2×(4+25)	100	4	25
50=2×(5+20)	100	5	20
40=2×(10+10)	100	10	10

ü حل مساله

ü بازگشت به عقب: نظم جدول منطقی به نظر می رسد پاسخ بدست آمده همه شرطهای مساله را دارد

3) الگویابی

مساله:رقم یکان را بدست آورید.

ü فهمیدن مساله:

1) تعیین مساله: رقم یکان عدد بالا چیست؟

2) حقایق مساله: آیا به توان رساندن اعداد را خوب یاد گرفته اید؟

توانهای7

مقدار

343

2401

16807

117649

823543

رقم یکان

ü انتخاب راهبرد: الگویابی (البته قبل از آن از حل مساله ساده تر استفاده می شود.)

ü حل مساله:

رقم یکان 7 است 1 +) 75´4(=4¸301

4) حذف حالتهای نا مطلوب

مساله:جذر تقریبی 300را بدست آورید.(درمحاسبه توان های دوم اعداد از ماشین حساب استفاده کنید.)

ü فهمیدن مساله:

1) تعیین مساله: جذر تقریبی 300

2) حقایق مساله: 300بین کدام دو مجذور کامل قرار دارد.

3) شرایط: از ماشین حساب استفاده کردن وعدم استفاده از روش حل جذر تقریبی

ü انتخاب راهبرد: حذف حالتهای نا مطلوب

با توجه به اینکه 300بین دو مجذور کامل 289و324 قرار دارد پس جذر آن بین 17و18 قرار دارد.پس جواب بین17و17/5ویا بین 17/5و18 قرار دارد پس با حذف یکی از گزینه ها به جواب نزدیک می شویم.

*عدد*	*توان دوم*	*بررسی*
17	289	بزرگتر از 17
18	324	کمتر از 18
17/5	306/25	کمتر از 17/5
17/3	299/29	بزرگتر از 17/3
17/4	302/76	کمتر از 17/4
17/35	301/02	کمتر از 17/35
17/33

ü حل مساله:

از جدول مقابل استفاده می کنیم:

ü بازگشت به عقب: با استفاده از روش حل جذر تقریبی یا به کمک ماشین حساب جواب را بررسی می کنیم.

5) زیرمساله

مساله:در شكل، شش مربع مساوي ديده مي شوند. اگر مساحت شكل 96 متر مربع باشد. محيط شكل چقدر است؟

ü فهمیدن مساله:

1.تعیین مساله: محیط شکل چقدر است؟

2.حقایق مساله: مساحت کل شکل 54متر مربع.

3.شرایط: 6 مربع مساوی هستند.

ü انتخاب راهبرد: زیرمساله

ü حل مساله:

زير مسئله1: مساحت هر مربع چقدر است: مترمربع 16 =6¸96

زير مسئله 2: طول ضلع هر مربع چقدر است؟ متر 4= 16 Ö

زير مسئله 3: محيط شكل چقدر است؟ متر 72=4 ´18

ü بازگشت به عقب: آیا محاسبات درست انجام شده؟

آیا راه حل دیگری وجود ندارد؟

6)حل مساله ساده تر

مساله: كسر مقابل را ساده كنيد.

ü فهمیدن مساله:

کسر ساده شود.
توانایی ساده کردن کسر.

ü انتخاب راهبرد:حل مساله ساده تر

ü حل مساله:

در پایان ، ذکر این نکته لازم است که بعضی از مساله ها را از چند راهبرد می توان حل کرد که مناسبترین راهبرد باید انتخاب شود

+ نوشته شده در یکشنبه بیست و هشتم آذر ۱۳۸۹ساعت 15:17 توسط جليل |

قالب وبلاگ