بسط تیلور و یه کمی از قشنگی هایش!

یادمه اولین بار که این بسط ِ شکیل رو ملاقات کردم، این طوری بود؛

استاد روی تخته این عبارت عظیم الجثه رو نوشت و گفت: خب می دونیم

f(x)= f(0) + f'(0)*x/1! + f"(0)*x2/2! + f'''(0)*x3/3! + ….         (1)

اف ِ ایکس مساوی افِ صفر به اضافه ی اف پریم ِ صفر به یک فاکتوریل ضرب در ایکس به اضافه ی اف زگوند صفر به دو فاکتوریل ضرب در ایکس دو به اضافه....

همه ی بچه ها مات و مبهوت هم دیگررا نگاه کردند ، سکوت همه جارا فرا گرفت......نا گهان، صدایی آمد، صدایی که می گفت: چرا؟؟؟؟؟؟؟ استاد گفت:چی چرا؟ صدا گفت: همین این غوله... استاد گفت: اه نمی دونی؟ ندیده بودی اینو تا حالا؟ سرم را می برم بالا که یعنی نه.. استاد پس از چند لحظه درنگ  تخته را کامل پاک می کند و این طور می نویسد:

f(x)= a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + ….                                        (2)

و ادامه داد: خب ببین می خوایم هر تابعی رو به صورت یه چند جمله ای بنویسیم به شکل بالا که ضرایب a0 , a1 , a2 , a3 ,… مقادیر ثابتی هستن که می خوایم به دست بیاریم. این جوری-->

اول به جای x تو رابطه ی (2) صفر بذار ببین چی می شه، می شه :  f(0) = a0

خب حالا از رابطه ی (2) مشتق بگیر و باز به جای x صفر بذار، می شه: f'(0)= a1

از رابطه دو بار مشتق بگیر و باز صفر به جای x: f"(0)= 2a2 à a2= f"(0)/2

سه بار مشتق بگیر و ... :   à a3= f'''(0)/3!    f'''(0)= 3*2*a3

اگه دوست داری چهار بار مشتق بگیر و باز می بینی: a4= f''''(0)/4!

حالا مقادیر ثابتی که به دست آوردی جاگذاری کن توی رابطه ی(2)، در نتیجه رابطه ی (1) به دست میاد که همون صورت اصلی بسط تیلوره؛ حالا فهمیدی چرا؟ می گم: اهممم، کاملا!J می گه: می بینی چه قدر ساده می تونی هر تابعی رو به صورت چند جمله ای بسط بدی! فقط کافیه  مقدار تابع و مشتقاتش رو تو نقطه ی صفر حساب کنی و بذاری تو رابطه (1). حالا یک مثال:

بیا این تابع رو به صورت چند جمله ای بنویسیم                                             f(x) = sin(x)

f(0)=0  ,  f'(0)=1  ,  f''(0)=0  ,  f'''(0)= -1  ,  …. è

sin(x) = x – x3/3! + x5/5! – ….                           (3)

این همون چیزیه که تو هم ارزی ها ازش استفاده می کنیما! مثلا می گیم وقتی x به صفر نزدیک می شه ، می تونیم از توان های بالاش صرف نظر کنیم. تحلیل نموداری هم می شه ازش کرد، ببین خیلی جالبه...

y=x


y=x-x3/6


y=x-x3/6+x5/5!

...*

حالا که تا این جا اومدیم بیا بسط cos(x) و ex هم حساب کنیم که خیلی راحته...

g(x)= cos(x)

g(0)= 1  ,  g'(0)= 0  ,  g''(0)= -1  ,  g'''(0) = 0  , …. è

cos(x)= 1 – x2/2! + x4/4! – …                          (4)

h(x) = ex

h(0)=1  ,  h'(0) =1  ,  h''(0)=1  , ….

ex= 1 + x + x2/2! + x3/3! + …                            (5)

خب حالا بقیه ی داستان** رو کات می کنیم و بر می گردیم به داستان ِ خودمون؛ اثبات این اتحاد:

eix = cos(x) + i sin(x)

بسط طرف اول عبارت بالا رو از رو رابطه ی (5) می نویسیم:

eix = 1 + ix + i2x2/2! + i3x3/3! + i4x4/4! + i5x5/5! + …

     = 1 + ix – x2/2! – ix3/3! + x4/4! + ix5/5! - …

     =(1 – x2/2! + x4/4! - …) + i (x – x3/3! + x5/5! - …)    (3),(4)

eix = cos(x) + i sin(x) ☺

موفق باشید.

+ نوشته شده در  سه شنبه یازدهم اسفند ۱۳۹۴ساعت 9:24  توسط جليل  |