بسط تیلور و یه کمی از قشنگی هایش!

یادمه اولین بار که این بسط ِ شکیل رو ملاقات کردم، این طوری بود؛

استاد روی تخته این عبارت عظیم الجثه رو نوشت و گفت: خب می دونیم

f(x)= f(0) + f^'(0)*x/1! + f^"(0)*x²/2! + f^'''(0)*x³/3! + ….         (1)

اف ِ ایکس مساوی افِ صفر به اضافه ی اف پریم ِ صفر به یک فاکتوریل ضرب در ایکس به اضافه ی اف زگوند صفر به دو فاکتوریل ضرب در ایکس دو به اضافه....

همه ی بچه ها مات و مبهوت هم دیگررا نگاه کردند ، سکوت همه جارا فرا گرفت......نا گهان، صدایی آمد، صدایی که می گفت: چرا؟؟؟؟؟؟؟ استاد گفت:چی چرا؟ صدا گفت: همین این غوله... استاد گفت: اه نمی دونی؟ ندیده بودی اینو تا حالا؟ سرم را می برم بالا که یعنی نه.. استاد پس از چند لحظه درنگ  تخته را کامل پاک می کند و این طور می نویسد:

f(x)= a₀ + a₁*x + a₂*x² + a₃*x³ + ….                                        (2)

و ادامه داد: خب ببین می خوایم هر تابعی رو به صورت یه چند جمله ای بنویسیم به شکل بالا که ضرایب a₀ , a₁ , a₂ , a₃ ,… مقادیر ثابتی هستن که می خوایم به دست بیاریم. این جوری-->

اول به جای x تو رابطه ی (2) صفر بذار ببین چی می شه، می شه :  f(0) = a₀

خب حالا از رابطه ی (2) مشتق بگیر و باز به جای x صفر بذار، می شه: f^'(0)= a₁

از رابطه دو بار مشتق بگیر و باز صفر به جای x: f^"(0)= 2a₂ à a₂= f^"(0)/2

سه بار مشتق بگیر و ... :   à a₃= f^'''(0)/3!    f^'''(0)= 3*2*a₃

اگه دوست داری چهار بار مشتق بگیر و باز می بینی: a₄= f^''''(0)/4!

حالا مقادیر ثابتی که به دست آوردی جاگذاری کن توی رابطه ی(2)، در نتیجه رابطه ی (1) به دست میاد که همون صورت اصلی بسط تیلوره؛ حالا فهمیدی چرا؟ می گم: اهممم، کاملا!J می گه: می بینی چه قدر ساده می تونی هر تابعی رو به صورت چند جمله ای بسط بدی! فقط کافیه  مقدار تابع و مشتقاتش رو تو نقطه ی صفر حساب کنی و بذاری تو رابطه (1). حالا یک مثال:

بیا این تابع رو به صورت چند جمله ای بنویسیم                                             f(x) = sin(x)

f(0)=0  ,  f^'(0)=1  ,  f^''(0)=0  ,  f^'''(0)= -1  ,  …. è

sin(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – ….                           (3)

این همون چیزیه که تو هم ارزی ها ازش استفاده می کنیما! مثلا می گیم وقتی x به صفر نزدیک می شه ، می تونیم از توان های بالاش صرف نظر کنیم. تحلیل نموداری هم می شه ازش کرد، ببین خیلی جالبه...

^y=x

y=x-x³/6

y=x-x³/6+x⁵/5!

...*

حالا که تا این جا اومدیم بیا بسط cos(x) و e^x هم حساب کنیم که خیلی راحته...

g(x)= cos(x)

g(0)= 1  ,  g^'(0)= 0  ,  g^''(0)= -1  ,  g^'''(0) = 0  , …. è

cos(x)= 1 – x²/2! + x⁴/4! – …                          (4)

h(x) = e^x

h(0)=1  ,  h^'(0) =1  ,  h^''(0)=1  , ….

e^x= 1 + x + x²/2! + x³/3! + …                            (5)

خب حالا بقیه ی داستان** رو کات می کنیم و بر می گردیم به داستان ِ خودمون؛ اثبات این اتحاد:

e^ix = cos(x) + i sin(x)

بسط طرف اول عبارت بالا رو از رو رابطه ی (5) می نویسیم:

e^ix = 1 + ix + i²x²/2! + i³x³/3! + i⁴x⁴/4! + i⁵x⁵/5! + …

     = 1 + ix – x²/2! – ix³/3! + x⁴/4! + ix⁵/5! - …

     =(1 – x²/2! + x⁴/4! - …) + i (x – x³/3! + x⁵/5! - …)    (3),(4)

e^ix = cos(x) + i sin(x) ☺

موفق باشید.

10, 20, ..., 15, 1000, ..., 16

عجله نکنید! کمی فکر کنید، سوال زیاد مشکلی نیست ولی اگر قادر به حل این سوال باشید
نشان فعالیت خوب سمت راست مغز شماست. برای دیدن جواب صحیح به پایین همین صفحه
مراجعه کنید.

...

...

...

پاسخ تست:

10, 20, 3, 15, 1000, 60, 16

ده، بیس، سه، پونزه، هزار و شصت و شونزه
هر کی می گه شونزه نیس، هفده، هجده، نوزده، بیس!

یاد قدیما به خیر که این شعر را می خواندیم و بازی می کردیم

نحوه پيدا كردن تعداد مقسوم عليه هاي يك عدد و همچنين روش تعيين مجموع مقسوم عليه هاي يك عدد "با استفاده از تجزيه ي اعداد به حاصل ضرب عوامل اول" از جمله روابطي هستند كه معمولا در كتب مختلف ويژه مقطع راهنمايي بدون كمترين توضيحي بيان شده است.به همين جهت مناسب ديدم با ذكر چند مثال "در راستاي يافتن روابط مورد نظر توسط خود دانش آموزان "تا حدودي به توضيح مطلب پرداخته شود.

مثال1-الف) مجموعه ي مقسوم عليه هاي عدد 8 را بنويسيد.{8 , 4  ,2   ,1}       

                 ب) عدد 8  را به صورت حاصل ضرب عامل هاي اول آن بنويسيد.  2³=8

                 ج) هر يك از مقادير 2⁰  , 2¹  , 2²  و 2³ را حساب كنيد.                  

   1=2⁰  ,     2=2¹    ,   4=2²  ,     8=2³

      آيا  2⁰  , 2¹  , 2²  و 2³  همه ي مقسوم عليه هاي عدد 2³  نيستند؟

آيا بدون نوشتن مقسوم عليه هاي  عدد  2³  مي توانستيد تعداد مقسوم عليه ها را پيش بيني كنيد؟ چگونه؟

عدد 7²=49 چند مقسوم عليه دارد؟

پاسخ: به جهت اينكه علاوه بر 7¹  و 7²   عدد 7⁰  نيز يك مقسوم عليه 7²  مي باشد 

پس عدد  7²=49داراي (1+2) مقسوم عليه مي باشد.

پرسش1- هر يك از اعداد زير چند مقسوم عليه دارد؟

: 16           : 27            : 5⁹             : 7⁵             : 3¹

 مثال2-عدد 7×2³ =56 چند مقسوم عليه دارد؟

مقسوم عليه هاي عدد 2³ عبارتند از مجموعه ي 4 عضوي:  {2⁰  , 2¹  , 2²  و 2³}=A   و مقسوم عليه هاي عدد 7 هم عبارت

است از: مجموعه ي 2 عضوي: از:{7 و1}=B  اگر هر يك اعداد مجموعه ي B  را در اعضاي مجموعه ي  A ضرب كنيم

اعداد مقابل  بدست مي آيد.  2⁰ ×1 ,2¹ ×1 , 2² ×1 , 2³ ×1 و 2⁰ ×7 ,2¹ ×7 , 2² ×7 , 2³ ×7 و به مجموعه ي مقابل مي رسيم

كه "هشت"عضو دارد.{1 , 2 , 4 , 8 , 7 , 14 , 28 , 56}

آيا مجموعه ي بدست آمده همان مجموعه ي مقسوم عليه هاي عدد 7×2³ =56 نيست؟

آيا مي توانستيم تعداد مقسوم عليه اي عدد 7¹×2³  را پيش بيني كنيم؟ چگونه؟

  عدد 3⁷×5² چند مقسوم عليه دارد؟

پاسخ: طبق آنچه گفته شد عدد 3⁷ داراي 8 مقسوم عليه و عدد 5² داراي 3 مقسوم عليه است. بنابراين  عدد  3⁷×5² داراي

(24=8×3) مقسوم عليه خواهد بود.

پرسش2-  هر كدام از اعداد زير چند مقسوم عليه دارد؟

                    : 3⁴×7²×5×2⁴                : 17¹⁰×3⁸                : 5²×2⁵

                    : 48×3⁵                             : 300

بنابراين اگر A يك عدد طبيعي باشد و با تجزيه به حاصل ضرب عوامل اول  به صورت: 

    نوشته شود.عدد A داراي      مقسوم عليه خواهد بود.

مثال3- الف)مجموعه ي مقسوم عليه هاي عدد 3⁴=81  را مي نويسيم.   {3⁴,   3³ , 3² , 3¹  , 3⁰ }

ب)مجموع مقسوم عليه هاي عدد 3⁴ را بدست آوريد.

=3⁴  +3³ + 3² + 3¹ +3⁰

حاصل اين جمع را مي توان با استفاده از مفهوم توان به رابطه ي   

تبديل كرد. در نتيجه:   بنابراين  مجموع مقسوم عليه هاي

عدد 81 بايد  121 باشد."امتحان كنيد"

پرسش3- مجموع مقسوم عليه هاي هر يك ازاعداد زير را بدست آوريد.

: 16                : 3³                  : 2⁵                   : 7²

مثال4- مجموع مقسوم عليه هاي عدد 5²×2³ =200 را بدست آوريد.

مجموع مقسوم عليه هاي عدد 2³ عبارت است از:(2⁰ + 2¹ + 2² + 2³) و مجموع مقسوم عليه هاي عدد 5² هم عبارت است

از:(5⁰+ 5¹+5²)  با ضرب اين دو مقدار داريم: (2⁰ ×5⁰+ 2¹ × 5⁰+ 2² ×5⁰ + 2³ ×5⁰ + 2⁰ ×5¹ + 2¹ ×5¹ + 2² ×5¹+ 2³

×5¹ +2⁰ ×5²+ 2¹ ×5²+ 2² ×5²+ 2³ ×5²)  و به جمع زير مي رسيم:    

1+2+4+8+5+10+20+40+25+50+100+200

و مي بينيم اعداد بدست آمده همان مقسوم عليه هاي عدد 5²×2³ =200 است!!

بنابراين با تجزيه ي عدد به عوامل اول و " محاسبه ي مجموع مقسوم عليه هاي هر يك از عوامل اول"و سپس ضرب آنها در يكديگر

مي توان مجموع مقسوم عليه هاي يك عدد را پيدا كرد. 

مثالي ديگر:مجموع مقسوم عليه هاي عدد 60 را بدست آوريد.  5¹×3¹×2²=60

پاسخ:                                              

  168=60+30+20+15+12+10+6+5+4+3+2+1=مجموع مقسوم عليه هاي عدد 60 

پرسش4- مجموع مقسوم عليه هاي هر عدد را بدست آوريد.

: 42×2³                              : 720                      : 3×2⁷                         3²×2²

اگر A يك عدد طبيعي باشد و با تجزيه به حاصل ضرب عوامل اول

 به صورت:    نوشته شود.

مجموع مقسوم عليه هاي عدد A از رابطه زير بدست مي آيد.

10, 20, ..., 15, 1000, ..., 16

عجله نکنید! کمی فکر کنید، سوال زیاد مشکلی نیست ولی اگر قادر به حل این سوال باشید
نشان فعالیت خوب سمت راست مغز شماست. برای دیدن جواب صحیح به پایین همین صفحه
مراجعه کنید.

...

...

...

پاسخ تست:

10, 20, 3, 15, 1000, 60, 16

ده، بیس، سه، پونزه، هزار و شصت و شونزه
هر کی می گه شونزه نیس، هفده، هجده، نوزده، بیس!

یاد قدیما به خیر که این شعر را می خواندیم و بازی می کردیم

روزی از دانشمند ریاضیدان نظرش را در باره انسانیت پرسیدند ، در جواب گفت :

اگر زن یا مرد دارای اخلاق باشند :     نمره یک می دهیم  1

اگر دارای زیبائی هم باشند پس یک صفر جلوی عدد یک می گذاریم : 10 

اگر پول هم داشته باشند 2 تا صفرجلوی عددیک می گذاریم :   100    

اگردارای اصل ونسب هم  باشند 3 تا صفرجلوی عدد یک  می گذاریم  :  1000

ولی اگر زمانی عدد  1 رفت  ( اخلاق )؛  چیزی به جز صفر باقی نمی ماند ،  000

و صفر هم به تنهائی هیچ است . و آن انسان هیچ ارزشی ندارد

Example 7: Calculate

₃ C <sub>2

5</sub> C ₅

Solution:

₃ C ₂ = 3! / [ (3 - 2)!2! ] = 6 / [1 * 2] = 3 (problem of points and lines solved above in example 6)

₅ C ₅ = 5! / [(5 - 5)!5! ] = 5! / [0!5!] = 5! / [1 * 5!] = 1 (there is only one way to select (without order) 5 items from 5 items and to select all of them once!)

Example 8:We need to form a 5 a side team in a class of 12 students. How many different teams can be formed?

Solution:

There is nothing that indicates that the order in which the team members are selected is imoportant and therefore it is a combination problem. Hence the number of teams is given by

₁₂ C ₅ = 12! / [ (12 - 5)!5! ] = 792

Combinations

Example 6: How many lines can you draw using 3 non collinear (not in a single line) points A, B and C on a plane?

Solution:

You need two points to draw a line. The order is not important. Line AB is the same as line BA. The problem is to select 2 points out of 3 to draw different lines. If we proceed as we did with permuatations, we get the following pairs of points to draw lines.

AB , AC

BA , BC

CA , CB

There is a problem: line AB is the same as line BA, same for lines AC and CA and BC and CB.

The lines are: AB, BC and AC ; 3 lines only.

So in fact we can draw 3 lines and not 6 and that's because in this problem the order of the points A, B and C is not important.

This is a combination problem: combining 2 items out of 3 and is written as follows:

The number of combinations is equal to the number of permuations divided by r! to eliminates those counted more than once because the order is not important

Powered By
  BLOGFA.COM