بنام حضرت دوست که هرچه داریم از اوست  
 
باتوجه به اینکه معادلات دیفرانسیل کار برد زیادی  درمهندسی و فیزیک و ....دارد تصمیم گرفتم
مطالبی در مورد حل انها ارایه نمایم
 
 
معادلات دیفرانسیل معمولی
(رشته ریاضی)

سرفصل معادلات دیفرانسیل
عنوان
فصل اول: معادله دیفرانسیل مرتبه اول
1: ماهیت معادلات دیفرانسیل و طبقه بندی آنها
2: معادله دیفرانسیل جدا شدنی و تبدیل به آن
3: معادله دیفرانسیل همگن و تبدیل به آن
4: دسته منحنی ها و دسته منحنی های متعامد
5: معادله دیفرانسیل كامل
6:عامل انتگرال ساز
7: معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و تبدیل به آن

 

فصل دوم: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم
1: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم حالت خاص فاقد     یا 
2: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن
3: معادله دیفرانسیل کشی-اویلر
4: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن ( تغییر متغیر)
5: روش ضرایب ثابت( ضرایب نامعین)

فصل سوم: حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها
1: سری توانی
2: نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری معادلات دیفرانسیل
3: نقاط منفرد منظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
:4حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر است

  

فصل چهارم:
1:توابع بسل وخواص آن
 فصل پنجم
1: دستگاه معادلات دیفرانسیل
 

فصل ششم: تبدیلات لاپلاس
1: تبدیل لاپلاس
2: خواص تبدیل لاپلاس
3: معکوس  تبدیل لاپلاس
4: حل معادله دیفرانسیل به روش لاپلاس
5: تبدیل لاپلاس برخی توابع

 

ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن
مقدمه: با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن تساوی باشد، آشنا هستیم. ساده ترین معادله یک مجهولی می باشد،
که بانماد نشان         f(x)=0     می دهیم. مثلا  ax+b=0           معادله یک مجهولی درجه اول و                    ax^2+bx+c=0 معادله یک مجهولی درجه دوم و ax^3+bx^2+dx+c=0
  معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر
 
معادله دو مجهولی که بانماد f(x,y)=0
نشان می دهیم مثلا ax+by+c=0
معادله دو مجهولی درجه اول ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
 
معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر
 
درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد:
 
الف) آیا

x0جواب معادله f(x)=0ميباشدويا(x0,y0) جواب معادله f(x,y)=0ميباشد

 

ب) جواب معادله راپیدا کنید؟
 
جواب دادن به سوال الف) ساده می با شد زیرا با جایگذاری می توان مشخص کرد. ولی جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد. ابتدا باید معادلات را دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو مرحله را مشخص کنیم:
1) مرحله شناخت
2) مرحله حل(روش حل)
 

حال اگر درمعادله  f(x,y)=0 متغیر x را به عنوان متغير مستقل ومتغير y را به عنوان 
متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه x تابعي ازy بوده 
و می توان درمورد مشتق تابع
صحبت کرد یعنی

 

dy/dx,d^2y/dx,d^3y/dx

F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = 0

حال به حل معادلات دیفرانسیل می پردازیم

 

تعریف: 
معادله ای که شامل ترکیباتی از x
(متغیر مستقل) وy
(متغیر وابسته) و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد
F (x,y,dy/dx,d2y/dx2) = 0
 
 
نشان می دهیم
 
درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد

الف) آیا تابع f(x,y)=0
 
جواب معادله دیفرانسیل می باشد؟

 

ب) جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟

جواب دادن به سوال الف) ساده است (با جایگذاری) مثلا آیا تابع y=exجواب معادله y"-5y'+6y=0ميباشد
 
 
جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد وبستگی به نوع معادله وطبقه بندی آن دارد. باتعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل به سراغ سوال ب) می رویم.
 
 
تعریف: بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم
 
+ نوشته شده در  دوشنبه نوزدهم مهر 1389ساعت 10:21  توسط جليل  |